生物医学工程 | EEG分析 - 卷积和点成

点乘｜Dot Product

数学定义

假设输入为两个vector， $x = [x_1, x_2, ..., x_n]$ ， $y = [y_1, y_2, ..., y_n]$ ，则点乘结果为

x \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n

代码

MATLAB代码

1 2	z = dot(x,y) z = x * y'

Python代码

1	z = np.dot(x, y)

卷积｜Convolution

数学定义

离散卷积定义

假设输入为两个vector， $x = [x_1, x_2, ..., x_n]$ ， $h = [h_1, h_2, ..., h_n]$ ，则点乘结果为

(x * h)[n] =x[n]*h[n]= \sum_{i=-\infty}^{+\infty} x(i) h(n-i) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} x(n-i) h(i)

连续卷积定义

假设输入为两个连续函数 $x(t)$ 和 $h(t)$ ，则点乘结果为

(x * h)(t) = x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-\tau) h(\tau)d\tau

解释和理解

通常我们将x称为信号，h称为卷积核kernel，通常卷积核的长度比信号短一些。

离散卷积：如果信号x和卷积核h都是离散的，则卷积可以理解为卷积核h从信号的一侧取长度和卷积核h一样的一组数据点，然后一一对应的进行点乘，并将结果求和作为第一个卷积的结果。然后卷积核h在信号上向右滑动一格，重复上面的步骤得到第二个卷积结果，以此类推直到卷积核遍历了信号x的所有点。

连续卷积：如果信号x和卷积核h都是连续的，则卷积可以理解为卷积核h和信号x重合的面积，并将面积的大小作为第一个卷积的结果。然后卷积核h在信号上向右滑动，重复上面的步骤得到第二个卷积结果，以此类推直到卷积核遍历了信号x的所有点。

从理论上来讲，卷积核是从负无穷滑动到正无穷。但通常我们只取信号x不为零的部分。需要注意的是，卷积之后可能需要人工选择长度，不论是matlab还是python都给出了卷积结果长度选项，但我们也可以手动截取某一个部分

为了保证信号两端的点都能够被卷积核完整的覆盖到，我们通常会给信号两端加一些为零的点（见图C）。补零之后卷积结果的长度为**信号长度+卷积核长度-1**。卷积之后的幅度会改变，如果想要和原始信号的幅值进行比较的话，则只需要将卷积结果除以卷积核的长度即可。此外，一般推荐卷积核选择奇数作为长度。

点积和卷积的区别

点积（dot product）在数学上与相关系数（correlation coefficient）相关联，它用于衡量两个信号之间的相似性，而不考虑时间偏移。

傅里叶变换（Fourier Transform）可以提供信号的频谱信息，并在频域中比较信号的相似性。
卷积（convolution）在数学上与交叉相关（cross-correlation）相关联，用于衡量信号在时间上的相似性随时间偏移的变化。

小波变换（Wavelet Transform）可以提供不同尺度和时间分辨率下信号的特征信息，并比较信号在不同时间上的相似性。

时域的卷积等价于频域的点积。换句话说，以下两种方法得出的结果相同

代码

MATLAB代码

1 2	y = conv(u,h) % 等价于conv(h,u) y = conv(u,h,‘same’) % 可以选择full，same，valid等选项，具体用法查看官方文档

Python代码

1 2	y = np.convolve(u, h) # 等价于conv(h,u) y = np.convolve(u, h, 'same') #可以选择full，same，valid等选项，具体用法查看官方文档

！练习

题目：使用一个长度为11的卷积核对信号求移动平均（类似移动平均滤波器）

1
2
3

x = cumsum(randn(1,1000))
h = ones(1,11)
MA = conv(x, h, 'same')/11

import numpy as np

x = np.cumsum(np.random.randn(1, 1000))
h = np.ones(11)
MA = np.convolve(x, h, mode='same') / 11

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